Диссертация

Автор: Никоноров, Юрий Геннадьевич

Название: Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий

Справка: Никоноров, Юрий Геннадьевич. Аналитические методы в теории однородных эйнштейновых многообразий : диссертация доктора физико-математических наук : 01.01.04 Рубцовск, 2002 211 c. : 71 04-1/244

Объем: 211 стр.

Информация: Рубцовск, 2002

Отмети.м, что в последнее вре.мя появилось много новых работ по вопросам, близким к обсуждае.\юму. В частности, была получена классификация пптимерных однородных эйнштейновых .многообразий [66] и достигнут существенный прогресс в изучении эйнштейновых солпмногообразий [86].

Методика исследований во .многом ориентирована на использопа1И1е аналитичсских средств. Основы такого подхода зало?кены в работах Г. Йенсена [83], М. Вана и В. Циллера [103].

Первая глава диссертации посвящена обоснованию вариационного принципа для инвариантных метрик Эйнштейна. В первом параграфе рассматривается унимодулярная группа Ли G и две ее подгруппы Н, К, Н С К С G, где Н — компактная группа Ли. Объектом исследования являются adk -инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве Л/ = G/H. Пусть р — некоторое adk -инвариантное дополнение \\ h в д и пусть М — множество ad^ -инвариантных скалярных произведений объема 1 на р относительно некоторого выделенного скалярного произведения. Рассмотрим также Mk — множество adk -инвариантных метрик объема 1 на р относительно того же выделенного скалярного произведения. Основным результатом первого параграфа является Теорема 1.1.1 Пусть (•, •) 6 Mk, тогда следующие условия эквивалентны: 1) (•, •) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве М; 2) (•, •) является критической точкой функционала скалярной кривизны S на множестве Л4; 3) ', -) является инвариантной эйнштейновой метрикой.

От.метим, что утверждение данной теоремы в случае унимодулпрных групп было получено Г. Иенссном [83]. В случае однородных пространств с компактноП группой движений это утверждение также хорошо известно [9].

Второй параграф посвящен изучению аналитических характеристик эйнштейновых метрик (как критических точек функционала скалярной кривизны).

В частности, доказана Теорема 1.2.2 Пусть •, •) — стандартная однородная эйнштейнова метрика, причем константа Казимира удовлетворяет условию с > 3/10, тогда метрика, как критическая точка функционала скалярной кривизны, является точкой локального минимума функционала S на множестве М. Во третьем параграфе первой главы исследуется устойчивость положительной определенности нормальной метрики на компактных однородных пространствах. В частности, доказывается Теорема 1.3.2 Пусть G/H — односвязное компактное однородное пространство, (•,•) — некоторая нормальная, а (•,•) — некоторая adh-инвариантная метрики на р. Пусть к тому же все adh-инвариантные неприводимые подмодули в р попарно неизоморфны. Тогда, если минимальное и максимальное собственные числа квадратичной формы (•,•) относительно (•,-) связаны соотношением 2xjnin > Хтах, ^"о кривизна PuHHU McmpuKU (•, •) положительна.

Вторая глава посвящена применению доказанного в первой главе вариационного принципа к нахождению инвариантных эйнштейновых метрик на некоторых специальных однородных пространствах. Также в пятом параграфе затронуты вопросы существования инвариантных эйнштейновых метрик на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движений.

В первом параграфе исследуются левоинвариантныс метрики специального вида на группах Ли на предмет обнаружения среди них метрик Эйнштейна.

Пусть F — простая компактная группа Ли. Рассмотрим G = FxF с подгруппой К, являющейся образом диагонального вложения F ъС \\ Н — с. Рассмотрим все а(4-инвариантпыс метрики на G. Отметим, что среди таких метргич известны две эйнштейновы метрики: стандартная метрика на G и метршча, найденная Г. Йснсеном [83]. Мы доказываем следующую теорему.Теорема 2.1.1 Для любой компактной простой группы F группа G = F х F допускает ровно две пеизометричные и негомотетичные adk-инвариантные метрики Эйнштейна.Теорема 2.2.1 На пространстве Леджера-Обаты G/H = FxFxF/diag = 1 с рациональными координатами и подгруппу S СТ, алгебра Ли которой s состоит из элементов вида Aix, Агх,, А„х, где х & t, \х G ti (мы используем изоморфизм мс/кду f,- и t).Обозначим через hx (•,')-ортогональное дополнение к s в f и через Яд — соответствующую подгруппу Ли в G. Объектом нашего исследования являются инвариантные эйнштейновы метрики на однородном пространстве Л/л = (7/Ял.Доказывается следующая Теорема 2.4.1 Пусть G — компактная полупростая группа Ли иТ — максимальная коммутативная подгруппа в G, д и t являются соответствующими алгебрами Ли, р — ортогональное дополнение к t в д относительно формы Киллинга, М — множество adt-инвариантных метрик объема 1 на р, Л/i — множество adt-инвариантных метрик объема 1 на д. Если функционал скалярной кривизны S имеет невырожденные критические точки на М и Mi, то существует бесконечно много попарно неизометричных и негомотетичных эйнштейновых инвариантных метрик на однородных пространствах М\ = G/H\.Пятый параграф второй главы посвящен исследованию кривизны Риччи инвариантных .метрик специального вида на некомпактных однородных пространствах с полупростой группой движения.Рассмотрим полупростую некомпактную группу Ли G, ее компактную подгруппу Н такую, что Н С К С G, где К — .максимальная компактная подгруппа группы G, Н ф К. Пусть [•,•] — скобка Ли, а В(-,-) — форма Киллинга алгебры д и пусть д = к®р' = h® р" Ф //, где первое равенство есть разложение Картава алгебры д группы G, и к h®p", р" ортогонален h относительно В. Вложения подгрупп во всех рассматриваемых примерах стандартные.Отметим, что существование инвариантной эйнштейновой метрики на каждом из описанных пространств доказано ранее М, Ваном и В. Циллером в работе [101].Третья глава диссертации поспящсиа классификации компактных однородных эйнштейновых многообразий размерностей б и 7. Хорошо известно, что любое однородное многообразие Эйнштейна Л/" размерности 2 или 3 изометрично пространству постоянной секционной кривизны. Для размерности п = 4 Г. Йснсси доказал, что односвязнос Л/" (в компактном и некомпактном случаях) является симметрическим пространством [82]. Для некомпактных пространств большего числа измерений проблема классификации осложняется изза отсутствия классификации некомпактных однородных пространств (и даже алгебр Ли). В размерности п = 5 полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна была получена Д.В, Алексеевским, И.-Д. Миателло, Феррарисом [66]. Ранее часть инвариантных метрик Эйнштейна на компактных пятимерных однородных пространствах была найдена М. Ваном и В. Циллером [101], а также Е.Д. Родионовым [49]. Д.В. Алексеевским полумена также класси(|)икацил некомпактных однородных эйнштейновых многообразий отрицательной секционной кривизны для размерности п < 5 [5].Основные результаты первого параграфа основаны на совместной работе автора с Е.Д. Родионовым [48], в частности, доказывается следующая классификационная Теорема 3.1.1 Пусть G - компактная связная полупростая группа Ли, действующая почти эффективно на шестимерном односвязном однородном пространстве М^ = G/H, Н - замкнутая подгруппа G. Если (G/II,p) - однородное эйнштейново многообразие, то оно изометричпо, с точностью до умножения метрики р па константу, одному из следующих многообразий, указанных в таблице 1.Некоторые из этих многообразий были рапсе найдены Г. Йенсеном [83], Й.Д' Атри и X. Никерсоном [7G], В. Циллером [112].Многие из перечисленных в таблице 2 эйнштейновых многообразий были найдены Ш, Кобаяси [90], Г. Йенссном [84], М. Ваном [100], Л. Кастсллапи и Л. Романсом [73], Д. Псйджсм и К. Поупом [97], Л. Кастсллапи, Р. Д'Аурия и П. Фре [74], Р. Д'Аурия, П. Фрс и П. ван Ньювенхьюзеном [78], М. Ваном и В. Циллсром [104]. В процессе класси(|)ииации нам удалось найти новую метрику Эйнштейна на одном из пространств Алоффа-Уоллача.Четвертая глава посвящена изучению стандартных однородных эйнштейновых многообразий. Известно множество примеров стандартных эйнштейновых метрик на компактных однородных пространствах G/II как для простых групп G и Я, так и для групп, не являющихся простыми. Классификация стандартных однородных эйнштейновых пространств в случае простой группы G проведена в статье [102], в случае простой группы Я п работе [55]. В свете сказанного естественно ставится вопрос о классификации стандартных однородных эйнштейновых многообразий с пoлyпpocты^иl группахш движения и изотропии.Значительная часть первого параграфа посвящена нахождению натуральных решениП диофантовых уравнений, подобных тем, что приведены в таблице 7. В частности, находятся бесконечные серии таких решений для ортогонального и симплектического случаев из вышеприведенной таблицы.Второй параграф четвертой главы посвящен получению некоторых алгебраических ограничений для стандартного однородного эйнштейнового многообразия и классификации некоторых эйнштейновых многообразий специального вида. Отметим, что удалось найти примеры стандартных однородных эйнштейновых лиюгообразий с тремя попарно неэквивалентными неприводимыми модулями, что дает контрпример к гипотезе Д.В. Алсксесвского о сушсствовании не более двух неэквивалентных модулей для стандартных однородных эйнштейновых многообразий.Рассматривается компактное односвязнос однородное пространство Л/ = G/H, где G — связная компактная полупростая группа Ли, а / / — ее за.\Плнутая подгруппа.Как принято, через р .мы обозначаем ортогональное дополнение к подалгебре h в алгебре Ли д относительно формы Киллиига В алгебры д.В частности, в рассматриваемом параграфе доказывается Теорема 4.2.3 Пусть {G/II,pn) — стандартное однородное эйнштейново многообразие с полупростой группой изотропии Н, h = hi © © Jim- Обозначим через к количество слагаемых gj в разложении д = Qi^^igj таких, что 'i^j{h) ф gj.Тогда пг > к. Если к тому же {G/II^ рп) неприоодимо как риманово многообразие и к> 1, то тп> к.Через А D таблице И обозначена величина с^, где с — константа Казимира для соотпстствующего стандартного эйнштсйнового многообразия.Ну.мсрация каждого утверждения в диссертации состоит из трех цифр, первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер утвермхденип данного типа. Используется также сплошная ну.мсрацип формул и таблиц.Автор считает своим долгом отметить огромное влияние, которое оказали на него идеи и методы, разработанные Д.В. Алсксеевски.м, В.И. Бсрсстовски.м, В.А. Топоноговым, Е.Д. Родионовым, М. Ваном и В. Циллером, Г. Йенссном, О. Ковальским и многими flpyrnNHi мате.матикахиь