Главная » 2013 » Октябрь » 28 » Скачать Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней. Гриненко, Михаил Михайлович бесплатно
13:58
Скачать Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней. Гриненко, Михаил Михайлович бесплатно
Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней
Диссертация
Автор: Гриненко, Михаил Михайлович
Название: Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней
Справка: Гриненко, Михаил Михайлович. Бирациональная геометрия трёхмерных расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней : диссертация доктора физико-математических наук : 01.01.06 Москва, 2004 136 c. : 71 05-1/367
Объем: 136 стр.
Информация: Москва, 2004
Содержание:
2 Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо
21 Модели поверхностей дель Пеццо малых степеней и расслоений на них
22 Проблема бирациональной жёсткости
23 Перестройки слоя
24 О методе максимальных особенностей
3 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени
31 Конструкция
32 Бирационально жёсткие расслоения
33 Расслоения с е = О и ni = пг = Пз =
34 Двойной конус над поверхностью Веронезе I
35 Двойной конус над поверхностью Веронезе II
4 Неособые расслоения на поверхности дель Пеццо степени
41 Конструкция
42 Бирационально жёсткие расслоения
43 Нежёсткие случаи
44 О двойном пространстве индекса
Введение:
1. Настоящая диссертация посвящена вопросам бирациональной классификации неособых трёхмерных многообразий, расслоенных над прямой на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Сама по себе проблема бирациональной классификации относится к одной из наиболее классических задач алгебраической геометрии, над которой, начиная с середины 19-го века, работали многие математики из разных стран и разных школ. Основной же объект диссертации расслоения на поверхности дель Пеццо - тесно связан с бирациональными теориями, возникшими в последние 20 лет, такими, как программа минимальных моделей и программа Саркисова.В настоящее время существуют несколько методов в бирациональной гео-^ метрии, ориентированных, как правило, на решение проблемы рациональности. Это, в частности, метод Клеменса-Гриффитса [32], основанный на анализе структуры промежуточного якобиана алгебраического многообразия, и его обобщения ([29]), применяемые к вырождениям многообразий ([27], [28]). Затем, метод Артина-Мамфорда [26], где рассматривается такой бирациональный инвариант многообразия, как группа Брауэра. В середине 90-х годов появился метод Коллара, в котором доказательство нерациональности многообразия достигается спуском в конечную характеристику и рассмотрением чисто несепарабельных накрытий. Совсем недавно И.А.Чельцов [33] предложил ещё один приём, когда исходное многообразие деформируется к многообразию, бирационально изоморфному расслоению на коники над линейчатой поверхностью.Все перечисленные методы обладают своими достоинствами и недостатками, но наиболее универсальным и информативным является метод максимальных особенностей. По всей видимости, появление этого метода следует связывать с Максом Нётером, сформулировавшим и частично доказавшим результат о порождающих группы Кремоны (группы бирациональных автоморфизмов) проективной плоскости ([43]). Сам результат выглядит удивительно просто: группа Сг(Р^) порождена бирегулярными автоморфизмами, то есть элементами Aut(P^), и каким-нибудь квадратичным преобразоанием. Заметим, что для Сг(]Р^), хотя прошло больше 130 лет, ничего похожего пока даже сформулировать не удалось (и, вероятно, не скоро удастся).Нётер рассуждал следуюш,им образом. Если бирациональный автоморфизм X е C7•(P )^ не является бирегулярным, то он линейную систему без базисных точек, например, полную линейную систему прямых С, переведёт в какую-то (неполную) линейную систему D со свойством degV > deg? = 1. Но, поскольку размерности линейных систем совпадают, V обязательно имеет предписанные базисные точки, в том числе, возможно, и бесконечно близкие. Нётер установил важный факт: сумма трёх наибольших кратностей V в этих точках строго больше степени Т>. Если теперь предположить, что эти кратности соответствуют различным точкам плоскости, то элементарные вычисления показывают, что при помош,и квадратичного преобразования с центром в этих точках мы можем понизить степень линейной системы. Последовательно так действуя, мы в конце концов получим композицию квадратичныю преобразований, являюшуюся бирегулярным автоморфизмом, то есть переводящую С в себя. Проблемы, возникшие у Нётера с доказательством, связаны были с исключением бесконечно близких точек, но и эти трудности были преодолены к началу 20-го века.Ключевая идея метода максимальных особенностей, таким образом, уже в двумерном случае, на примере теоремы Нётера, выявлена: необходимо следить за базисными подмножествами "большой"кратности в линейных системах. В этом духе рассуждал и Дж. Фано (Gino Fano), пытавшийся распространить эти идеи уже на трёхмерные многообразия. Трёхмерная геометрия, разумеется, много сложнее и богаче, но Фано выяснил, что многообразия, которые он рассматривал (как правило, они принадлежали классу, впоследствии названному В.А.Исковских многообразиями Фано), во многих случаях устроены так, что на подмножества "большой кратности "существуют очень сильные ограничения, и это либо исключало их существование вообще, либо позволяло найти подходящий бирациональный автоморфизм, как в случае квадратичного преобразования на плоскости, и "открутить"кратности, понизив степень линейной системы. Опять, как и в двумерном случае, основные трудности были связаны с бесконечно близкими особенностями. Фано сформулировал целый ряд очень сильных утверждений ([34]). К сожалению, доказательства его не отличались прозрачностью, во многих случаях до сих пор не ясно, насколько точны его рассуждения. Любопытно, что его тексты практически полностью лишены формул.Тем не менее, многое из того, что было анонсировано Фано, впоследствии было доказано. И первой в новой истории метода максимальных особенностей была теорема Ю.И.Манина и В.А.Исковских о квартике ([11]). Им удалось дать строгое доказательство утверждения, сформулированного Фано, о том, что группа бирациональных автоморфизмов неособой трёхмерной квартики совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов. До этого и Ю.И.Мании, т и В.А.Исковских много времени уделяли изучению геометрии поверхностей над незамкнутыми полями, в том числе и функциональными, пытаясь таким образом подойти к геометрии многомерной. В последствии это вылилось в целый ряд исключительно сильных результатов ([12]), которые слуисат одним из опорных моментов настоящей диссертации.Принципиально важным оказалось то, что в статье [11] метод максимальных особенностей впервые обрёл и строгость, и стройность. Довольно быстро появился целый ряд результатов в бирациональной геометрии трёхмерных многообразий ([13]). В конце 70-х В.Г.Саркисов доказывает теорему о, выражаясь современным языком, бирациональной жёсткости "сильно закрученных по базе"трёхмерных расслоений на коники ([22]), опираясь, помимо метода максимальных особенностей, на результаты А.А.Загорского о стандартных расслоениях на коники ([10]) и В.А.Исковских о поверхностях с пучком рациональных кривых (это, и многое другое, можно найти в [12]). Было доказано, что стандартное расслоение на коники, удовлетворяющее условию "четырёх канонических классов"(то есть |С-|-4/1^51 Ф 0) гдб С кривая вырождения), не имеет других структур.Ситуация, однако, вскоре ухудшилась. Связано это было, вероятно, с изначальной направленностью схемы метода максимальных особенностей, предложенной Ю.И.Маниным и В.А.Исковских, на решение слишком конкретных задач (неособые многообразия Фано с малой степенью антиканонического класса).Технически это выражалось в идее пробного класса и ориентации на использование характерного для метода квадратичного неравенства. В это время осуществляются неудачные попытки исследования многообразий Фано индекса 2 (в работах И.Хашина, подробнее об этом в конце главы), не удаётся усилить результат о расслоениях на коники, не получается применить схему к исследованию расслоений на поверхности дель Пеццо, и так далее.Определённый успех в то время был достигнут в работах А.В.Пухликова, успешно применившего метод максимальных особенностей к многообразиям с особенностями (квартика с обыкновенной двойной точкой). Тогда же был сделан важный шаг к большим размерностям: была доказана теорема совпадении бирациональных и бирегулярных автоморфизмов четырёхмерной квинтики ([15]).Положение изменилось в 90-х годах благодаря новым работам А.В.Пухликова. Он переработал схему метода, отказавшись от техники пробного класса благодаря тщательному анализу структуры максимальных особенностей и применив язык дискретных нормирований ([16], [45]). Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными: метод теперь работал во всех размерностях и обрёл большую гибкость, благодаря чему, например, удалось "зацепить"расслоения на поверхности дель Пеццо ([46]). Так, был доказан аналог результата ИсковскихМанина во всех размерностях (гиперповерхности степени М в Р ^ ; [17], усиление результата в [21]), для расслоений на поверхности дель Пеццо малых степеней доказана бирациональная жёсткость при выполнении К^-условия ([17], [18]), причём стало возможным комбинировать подходы (например, [20]) и исследовать многообразия с несколькими различными структурами расслоения ([2]).В новом своём виде метод макимальных особенностей оказался исключительно хорошо приспособленным к другим теориям. Скажем, он стал основным (и, ви* димо, единственным) практическим средством в программе Саркисова - общем подходе к факторизации отображений между расслоениями Мори, основанном идеях В.А.Псковских, В.Г.Саркисова, М.Рида и доказанной А.Корти в [31].Метод максимальных особенностей является главным техническим средством предлагаемой диссертации. Из общих теорий используются основные понятия и результаты программы минимальных моделей и программы Саркисова.2. Основная задача диссертации - изучение бирациональной геометрии неособых трёхмерных расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2, не подпадающих под К^-условие (подробнее об этом условии сказано ниже, где формулируются основные результаты). Многообразия указанного типа, удовлетворяющие такому условию (что является общей ситуацией), были одной из тем докторской диссертации А.В.Пухликова ([17]). Тем не менее случаи, в которых К'^-условие не выполнено, относятся не только к более трудным, но и к более содержательным. Например, среди них находятся многообразия, содержащие (в бирациональном смысле) различные структуры расслоений на рациональные подмногообразия, в частности, бирационально изоморфные многообразиям Фано основной серии индекса 2 и степеней 1 и 2. Кроме того, хотя метод максимальных особенностей, используемый в диссертации в качестве основного/технического средства, принципиально применим к исследованию любых многообразий отрицательной кодаировой размерности, в частности, к описанию трёхмерной группы Кремоны, важной проблемой остаются границы практической применимости метода. В диссертации удалось расширить эти границы, впервые успешно применив метод к многообразию Фано индекса 2 (так называемому двойному конусу над поверхностью Веронезе). Таким образом, разработанная в диссертации методика позволяет вплотную подойти к исследованию многообразий Фано индекса 2 и степеней 2 и 3, тем самым осуществив "смычку"различных методов бирациональной геометрии, в данном случае метода промежуточного якобиана (и его обобщения на вырождения многообразий) и метода максимальных особенностей.Прежде, чем сформулировать основные результаты диссертации, необходимо напомнить ряд важных понятий и известных фактов. Мы придерживаемся стандартного алгебро-геометрического языка. Основные положения программы минимальных моделей можно найти в [41] и [36]. • Напомним, что тройка fj. : X —^ S называется расслоением Мори, если X проективное многообразие с Q-факториальными терминальными особенностями, S нормальное многообразие размерности строго меньшей, чем размерность Х,и fi экстремальное стягивание расслоенного типа, то есть относительное число Пикара p{X/S) — р{Х) — p{S) равно 1 и {—Кх) относительно обилен.В дальнейшем, чтобы не загромождать текст, расслоения Мори обозначаются не только ц : X -^ S, по и X/S или даже просто X, если из контекста ясно, о каких базах и структурных морфизмах идёт речь.Указанное отношение (то есть "быть бирациональным над базой") разбивает всё множество расслоений Мори, бирационально эквивалентных некоторому многообразию X, на классы эквивалентности, и множество этих классов эквивалентности мы будем обозначать M.S{X) и называть мноэюеством структур Мори на X.Очевидно, множество структур Мори является бирациональным инвариантом. Отметим важный частный случай: ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.0.2. Будем говорить, что многообразие X является бирационально оюёстким, если мнооюество структур Мори Л48{Х) состоит из одного элемента.Бирационально жёсткие многообразия образуют обширный и важный класс многообразий. Например, бирационально жёсткие многообразия нерациональны. Это немедленно следует из того, что IP^ бирационально изоморфно Р^ х Р^, то есть MS{f^) содержит, как минимум, два элемента (на самом деле, столько, какова мош;ность основного поля).Понятие множества структур Мори очень полезно при определении бирационального типа многообразия. Во многих случаях простое сравнение множеств структур Мори сразу даёт ответ (например, у одного это множество содержит расслоение на коники, у другого - нет). Если же к описанию множества структур Мори добавить описание "хорошей"модели в каждом классе бирациональной эквивалентности над базой, то мы получаем полноценное с практической точки зрения описание бирационального типа многообразия, сведя задачу бирациональной классификации к задаче классификации бирегулярной.Под "хорошей"моделью понимается такой класс многообразий, который удобен для описания и сравнения. Пример такого подхода приведён в диссертации для неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Нетрудно видеть, что это даёт практическое решение задачи бирациональной классификации.3. Кратко опишем основные результаты диссертации. Пусть р -.V —^F^ неособое расслоение Мори на поверхности дель Пеццо степени d, где d равно 1 или 2.Это означает, что V неособо, все слои структурного морфизма р приведены и неприводимы и являются нормальными поверхностями дель Пеццо степени d.Общий слой, по теореме Бертини, неособ. Обозначим г] обшую схемную точку Р^, и пусть Vr, слой над т]. Тогда К, неособая поверхность дель Пеццо степени d над полем функций прямой.Это не что иное, как утверждение о единственности неособой модели в классе всех бирациональных отображений над базой. Таким образом, неособые модели для рассматриваемого класса многообразий удобно выбрать в качестве "хороших" (о которых говорилось чуть выше). Утверждение этой теоремы в виде гипотезы было сформулировано автором в [3] (гипотеза 4.1).Отметим, что стержнем диссертации является гипотеза, впервые появившаяся в [5] (гипотеза 3.1) для d = 1. Напомним, что эффективный дивизор на многообразии называется подвиэюным, если соответствующая ему полная линейная система не имеет базисных компонент. По аналогии с конусом эффективных кривых NE(X) в программе минимальных моделей определяется конус подвижных дивизоров NM(A') в пространстве Mf^-^^ (где р{Х) число Пикара многообразия X) как выпуклая оболочка всех подвижных дивизоров на X, а также замыкание этого конуса NM(J\r) в обычной вещественной топологии.Определение. Будем говорить, что расслоение на поверхност,и дель Пеццо V/F^ удовлетворяет К-условию, если {—Ку) ^ IntNM(y), и удовлетворяет Ш К'^-условию, если {-Ку^ ^ IntNE(F).В диссертации А.В.Пухликова [17] было показано, что iir^-условие является достаточным для бирациональной жёсткости неособых расслоений на поверхности дель Пеццо малых (не выше 3) степеней. Однако затем стало ясно ([3]), что оно не является необходимым. В связи с этим возникла следующая гипотеза: ГИПОТЕЗА 1.0.4 (Основнгш гипотеза). Расслоение Мори р : V -^ F^ на поверхности дель Пеццо степеней 1, 2 или 3 бирационалъно жёстко тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет К-условию, или, другими словами, когда линейные системы \п{—Ку) — Г\ пусты либо имеют базисную компоненту при всех п > О (здесь F обозначает класс слоя).Сформулированный результат вместе с результатами [17] даёт полное решение проблемы бирациональной классификации неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. Отметим также, что класс бирационально жёстких расслоений без К^-условия (то есть {—Ку) 0 IntNM(\^) и {—Ку)'^ ? IntNE(V^)) непуст и представлен многообразиями с наборами структурных констант (2,2,6,12), (0,0,2,4), (0,0,3,6) и (0,2,3,4).Замечание. Условия общности положения, упомянутые в теореме, воспроизведены в соответствующем месте диссертации (§4.2). Они не являются принципиальными и, как это часто бывает в практике метода максимальных особенностей, носят технический характер.Кроме основных, в диссертации доказан ряд дополнительных достаточно важных результатов. Например, утверждается, что гипотетический критерий жёсткости (1.0.4) верен "в одну сторону"для любых расслоений Мори на поверхности дель Пеццо степени 1 (именно, если V/F^ ясёстко, то выполняется К-условие), показывается, что классическое многообразие Фано индекса 2 и степени 2, кроме уже известных бирациональных моделей в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 и 3, имеет также иные модели в виде многообразий Фано (в категории Мори) и расслоений на поверхности дель Пеццо степени 2 с кратным слоем. Последнее, кстати, приводит к интересным примерам линейных систем на многообразии Фано с бесконечно близкими максимальными особенностями.4. Кроме введения, диссертация содержит три главы. В главе 2 рассматриваются в целом круг проблем, связанный с бирациональной геометрией рассматриваемых многообразий. В §2.1, имеющим вводный характер, даются общие конструкции неособых расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 и 2. В следующем §2.2 исследуется постановка проблемы бирациональной жёсткости для этого типа многообразий, в частности, доказывается теорема 2.2.5, утверждающая, что для расслоений Мори (в том числе, имеющих особенности) на поверхности дель Пеццо степени 1 /f-условие является необходимым для бирациональной жёсткости. Далее, §2.3 посвящен вопросам перестройки слоя в расслоениях на поверхности дель Пеццо степеней 1 и 2. Там же доказывается теорема 1.0.3 о единственности неособой модели в классе бирациональных отображений над базой. В заключительном §2.4 приводится основная информация о методе максимальных особенностях и его модификациях, используемых в диссертации.Глава 3 посвящена расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 1. В §3.1 даётся конкретная конструкция неособых расслоений, описываемая набором структурных констант из четырёх чисел. В §3.2 доказывается первая часть теоремы 1.0.6, касающаяся бирационально жёстких расслоений. В следующем §3.3 рассматриваются расслоения с набором структурных констант (0,2,2,2) (пункт 2 теоремы 1.0.6). Наконец, §§3.4-3.5 целиком посвящены наиболее трудному случаю, связанному с набором (0,0,1,2), когда имеется перестройка на многообразие Фано индекса 2 и степени 1 (последний пункт теоремы 1.0.6): в первом из этих двух параграфов рассматриваются максимальные особенности Ш линейных систем на самом многообразии Фано, а во втором на соответствующих моделях в виде расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1. В конце §3.5 содерлсится также разбор некоторых ошибок И.Хашина (об этом чуть ниже).Заключительная глава 4 посвящена расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 2. В §4.1 приводится конструкция неособых расслоений, описываемая набором из трёх структурных констант. Затем, в §4.2, доказывается часть теоремы 1.0.7, относящаяся к бирационально жёстким случаям. Доказательство этой теоремы завершает §4.3, где рассматриваются бирационально нежёсткие расслоения. В последнем параграфе диссертации, §4.4, показывается, что двойное пространство индекса 2, естественно связанное с неособыми расслоениями на поверхности дель Пеццо степени 2 с набором (0,0,1), бирационально перестраивается на многообразия Фано, являющиеся полным пересечением двух кубик в пространстве Р(1^,2), и на нестандартные расслоения на поверхности дель Пеццо степени 2 с одним двукратным слоем. Эти перестройки соответствуют бесконечно близким максимальным особенностям линейных систем на ф двойном пространстве индекса 2, и примеры таких линейных систем завершают параграф.5. В связи с результатами, полученными в диссертации, возникает один деликатный вопрос. Дело в том, что оба многообразия Фано индекса 2 (степени 1 и степени 2), рассматриваемые в диссертации, а именно, двойной конус над поверхностью Веронезе и двойное пространство индекса 2, ранее уже были темой кандидатской (!) диссертации И.Хашина ([25]). Более того, результат, анонсированный им о двойном конусе над поверхностью Веронезе, фактически делает бессмысленной ключевую часть предлагаемой диссертации. В [25] доказывалось, что это многообразие Фано не бирационально никакому другому многообразию Фано основной серии (то есть с единичным числом Пикара), и что оно не имеет бирациональных автоморфизмов, отличных от бирегулярных.Что касается двойного пространства индекса 2, то его появление в настоящей диссертации в качестве темы целого параграфа, помимо естественных причин, связанных с тем, что это многообразие Фано бирационально изоморфно соответствующим расслоениям на поверхности дель Пеццо степени 2, обусловлено также и тем, что на нём автором были найдены новые, не известные ранее, • структуры Мори. И в частности, эти перестройки связаны с существованием бесконечно близких максимальных особенностей линейных систем. С другой стороны, хотя в диссертации И.Хашина нет окончательного утверждения о бирациональной геометрии этого многообразия Фано, им был сформулирован результат в предположении, что линейные системы на двойном пространстве индекса 2 бесконечно близких особенностей иметь не могут. В §4.4 показывается совершенно обратное.Ш Что касается двойного конуса над поверхностью Веронезе, то здесь всё иначе. Дело в том, что основной результат у Хашина не доказан, хотя он и верен, а предложенное им доказательство изобилует неустранимыми ошибками. Разбор некоторых из них дан в конце §3.5, после доказательства основного результата об этом многообразии Фано индекса 2.Следует, однако, отметить, что вряд ли это можно всерьёз поставить И.Хашину в вину. Ситуация с методом максимальных особенностей 20 лет назад, после первых значительных успехов ([11], [13], [22]), сложилась крайне тяжёлая, и сложность предлагаемых к решению задач, на сегодняшний взгляд, явно недооценивалась. Отчасти это объясняется, видимо, отсутствием на тот момент достаточно ясных представлений о природе бирациональных соответствий в многомерном случае. В частности, не делалось различий в применении метода максимальных особенностей к многообразиям Фано и, с другой стороны, к расслоенным многообразиям, таким, как расслоения на поверхности дель Пеццо. Скажем, понятие о сверхмаксимальной особенности, что, с точки зрения программы Саркисова, соответствует случаям отображений, не бирациональф ных над базой, появилось много позже ([18]). Так или иначе, потребовалось значительное время, чтобы преодолеть кризис.6. Всюду в диссертации предполагается, что основное поле алгебраически замкнуто и имеет характеристику О (без потери обш;ности можно считать, что мы работаем над полем комплексных чисел). При употреблении понятий "многообразие Фано", "расслоение на поверхности дель Пеццо", "расслоение на коники "всегда предполагается, если явно не указано противное, что соответствующие объекты являются расслоениями Мори. т Глава 2 Общие сведения о расслоениях на поверхности дель Пеццо в этой главе обсуждаются наиболее общие свойства расслоений на поверхности дель Пеццо. В §2.1 напоминаются конструкции поверхностей дель Пеццо степеней 1 и 2 и их связь с общей конструкцией расслоений. В следующих главах это будет использовано для построения конкретных моделей соответствующих расслоений, на основе которых будут производиться вычисления.В §2.2 рассматривается постановка проблемы бирациональной жёсткости. В частности, показывается, почему мы ограничиваемся расслоениями с базой Р^ и малыми степенями (не выше трёх). Кроме того, для расслоений на поверхности дель Пеццо степени 1 в теореме 2.2.5 доказывается необходимое условие бирациональной жёсткости из гипотетического критерия 1.0.4.Центральным в главе является §2.3, где при рассмотрении послойных бирациональных отображений расслоений на поверхности дель Пеццо степеней 1 или 2 доказывается теорема 2.3.1 о единственности неособых моделей в классе бирациональных отображений над базой. Несмотря на относительную несложность доказательства, этот факт сам по себе имеет ключевое значение для всей бирациональной геометрии неособых расслоений на поверхности дель Пеццо.Наконец, в §2.4 напоминаются некоторые ключевые конструкции метода максимальных особенностей, используемые в доказательствах основных результатов диссертации.
