Главная » 2013 » Октябрь » 29 » Скачать Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений. Мищенко, Виктор Васильевич бесплатно
15:58
Скачать Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений. Мищенко, Виктор Васильевич бесплатно
Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений
Диссертация
Автор: Мищенко, Виктор Васильевич
Название: Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений
Справка: Мищенко, Виктор Васильевич. Оценки погрешности численного интегрирования квазилинейных гиперболических уравнений : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.07 Москва, 1985 109 c. : 61 85-1/2952
Объем: 109 стр.
Информация: Москва, 1985
Содержание:
введшиез
§1 Постановка задачи и основные предположения
§2 Соотношение для погрешности дивергентных монотонных разностных схем в области гладкости решения задачи Коши
§3 Условие (А) и его следствие
§4 Об одной задаче из теории случайных блужданий
§5 Исследование одной стандартной ситуации
§6 Оценка погрешности при условии (А)
§7 Лемма локализации ''"
§8 Об оценке погрешности в случае, когда границами области гладкости являются характеристики
§9 Оценка погрешности схемы Лакса
§10 Оценка погрешности трехточечных схем
§11 Оценка погрешности при условии выпуклости
§12 Оценка погрешности дивергентных монотонных разностных схем при условии (А)
§13 Главный член погрешности
Введение:
Проблема обоснования' численных методов решения квазилинейных гиперболических уравнений представляет собой одну из важных задач современной вычислительной математики. Интерес к этой проблеме обусловлен широким распространением таких уравнений в качестве модельных для системы уравнений газовой динамики 25,26 . Сложность этой задачи связана с недостаточной разработанностью математического аппарата исследования квазилинейных уравнений. В частности, еще не получены общие теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы квазилинейных уравнений первого порядка. В отличие от систем, для одного уравнения доказаны теоремы существования и единственности, а также получены оценки погрешности широкого класса приближенных методов расчета слабых решений задачи Коши.
Развитие теории квазилинейных гиперболических уравнений началось в 50-х годах с работы Э.Хопфа [35], в которой построено разрывное решение задачи Коши для одного специального уравнения. В дальнейшем эта теория получила развитие в работах А.Н.Тихонова, А.А.Самарского [31], Д.Лакса [36], О.А.Олейник [22,23], И.М.Гель-фацда [8], А.С.Калашникова [9]. В последующих работах Н.Н.Кузнецова [14,15], А.И.Вольперта [7], Е.Конвея, Дж.Смоллера [33], С.Н.Кружкова [ 10-13] доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для одного многомерного квазилинейного уравнения, что привело к созданию в 1960-1975 годах сравнительно законченной теории обобщенных решений таких уравнений. Что касается систем квазилинейных гиперболических уравнений, то одним из центральных результатов остается теорема Глимма [34], в которой доказано существование обобщенного решения задачи Коши в предполо-« жении малости нормы и вариации начальной функции.
Начало исследованию сходимости решений разностных схем положила работа Н.Д.Введенской [4], в которой при условии выпуклости доказана сходимость решения схемы Лакса к обобщенному решению задачи Кош в норме .В работе Н.С.Бах-валова [2] впервые получена оценка погрешности схемы Лакса для строго выпуклого случая, а В.В.Разумейко [24,25] обобщила этот результат на случай выпуклости с вырождением. Н.Н.Кузнецов [16-21]', используя введенное им новое понятие погрешности метода, доказал общие теоремы об оценке погрешности приближенных методов решения задачи Коши в норме ^ (в многомерном случае, что позволило получить оценки погрешности широкого класса дивергентных монотонных разностных схем без предположения о выпуклости. В работах С.А.Волошина [б,б] теоремы Н.Н.Кузнецова конкретизированы на случай неявных схем.
С практической точки зрения часто оказывается полезным иметь оценки погрешности в равномерной метрике. В диссертации в случае одномерного квазилинейного уравнения указанные оценки погрешности получены для ряда явных дивергентных монотонных разностных схем в предположении наличия области непрерывной дифференцируемости решения задачи Коши.
Основой для получения оценок в равномерной метрике в работе служат оценки погрешности в норме
Г) [19,20]. Следует отметить, что цри таком подходе основную трудность составляет получение предварительной оценки погрешности вида \tliy0c') | ^ С ^ , где Ъ(Ь?Х) - погрешность в точке X) , а постоянные Си оС определяются в зависимости от поведения решения вблизи боковой границы области непрерывной дифференцируемости. Среди известных автору работ наиболее близкими по постановке задачи являются работы С.И.Сердю-ковой [28-30], в которых исследован вопрос о ширине зоны "размазывания" изолированного разрыва для линейного гиперболического уравнения.
Диссертационная работа состоит из 13 параграфов. В первых восьми параграфах обсуждается постановка задачи и доказывается ряд вспомогательных утверждений, составляющих аппарат исследования поставленной задачи; остальная часть работы посвящена получению оценок погрешности дивергентных монртонных разностных схем при различных предположениях.
Первый параграф посвящен постановке задачи. Для задачи Коши для одномерного квазилинейного гиперболического уравнения первого порядка
2) где 1Т0 (X) - функция ограниченной вариации, У(У) - дважды непрерывно дифференцируемая, рассматривается класс явных дивергентных монотонных конечно-разностных схем
СЧ(з) здесь ^ ? ЯГ и к. - шаги сетки по Ь и X соответственно, В предположении существования области Сг , в которой решение ^(Ь^Х) задачи (I) ,(2) имеет ограниченные производные до второго порядка включительно и через любую точку которой проходит характеристика уравнения (I), лежащая в области
Ц , ставится задача получения оценок погрешности схем (3) в равномерной метрике в области (3
