Влияние крупномасштабных пульсаций скорости на статистику турбулентности в инерционном интервале
Диссертация
Автор: Новиков, Сергей Владимирович
Название: Влияние крупномасштабных пульсаций скорости на статистику турбулентности в инерционном интервале
Справка: Новиков, Сергей Владимирович. Влияние крупномасштабных пульсаций скорости на статистику турбулентности в инерционном интервале : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.04.02 Санкт-Петербург, 2003 133 c. : 61 03-1/1269-4
Объем: 133 стр.
Информация: Санкт-Петербург, 2003
Содержание:
Глава 1 Расчет спектров энергии развитой затухающей турбулентности с помощью схемы замыкания Гейзенберга
12 Общий вид спектра энергии Постановка задачи
13 Зависимость от времени Нормировочные соотношения
14 Схема замыкания Гейзенберга
15 Решение уравнения спектрального баланса в области диссипации
16 Решение уравнения спектрального баланса в области энергии
17 Нормированные одномерные спектры Сравнение с экспериментом
Глава 2 Диффузия скалярной примеси в сильно анизотропном турбулентном потоке
22 Формулировка модели Аномальный скейлинг и "опасные" составные операторы
23 Теоретико-полевая формулировка Уравнения Дайсона-Уайльда
24 Ренормировка, РГ функции и РГ уравнения
25 Решение РГ уравнений Инвариантные переменные
26 Ренормировка и критические размерности составных операторов
27 Операторное разложение и аномальный скейлинг
28 Точное решение для структурной функции второго порядка и расчет ее амплитуды
29 Заключение
Глава 3 Перенос пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком
32 Описание модели
33 Полевая формулировка Операторное разложение
34 Базис для скалярных операторов вида (5(/?)"
35 Критические размерности базисных операторов в однопетлевом приближении Асимптотика структурных функций
36 Заключение
37 Приложение ПО
Глава 4 Специфика аномального скеилинга векторной примеси в двух и трех измерениях ИЗ
42 Формулировка модели
43 Поведение структурных функций в инерционном интервале
44 Двумерный случай
45 Трехмерный случай
46 Заключение
Введение:
Построение теории турбулентности — одна из наиболее старых, и до сих пор окончательно не решенных задач теоретической физики. В частности, развитая турбулентность, характеризующаяся большими значениями числа Рейнольдса R, с трудом поддается теоретическому анализу, несмотря на усилия многих поколений ученых и разнообразие применяемых методов, которые варьируются от построения феноменологических и полуфеноменологических замыканий уравнений гидродинамики, до мош,ных теоретико-полевых методов, разработанных первоначально в рамках формализма квантовой теории поля для нужд физики элементарных частиц.Значительный прогресс в понимании механизма.развитой турбулентности был достигнут в 40-х годах прошлого века и был связан с именами Колмогорова и Обухова [1-3]. Согласно теории Колмогорова-Обухова, развитая турбулентность имеет два характерных пространственных масштаба: интегральный L и диссипативный т]. Первый определяется геометрией течения и характеризует максимальный размер неоднородностей поля скорости в системе. Второй определяется масштабом турбулентности, на котором доминирующую роль начинает играть диссипация энергии за счет вязкости, и связан со средней скоростью диссипации энергии. Энергия поступает в систему в виде вихрей размером г > L (область накачки), а диссипирует на масштабах г <'г] (область диссипации). Отношение этих масштабов выражается через число Рейнольдса L/г] = В?1'^. В промежуточной области L ':^ г :^ Tj, получившей название инерционного интервала, происходит перенос энергии по спектру размеров пульсаций скорости от области накачки к области диссипации за счет нелинейности в уравнениях гидродинамики. в инерционном интервале теория Колмогорова-Обухова предсказывает независимость пульсаций скорости от интегрального и диссипативного масштабов, что позволяет получить асимптотические выражения для корреляционных функций из соображений размерности. Именно получение универсальных спектров энергии (вторая корреляционная функция), которые прекрасно согласуются со всем многообразием экспериментальных данных в инерционном интервале, было большим успехом теории.Хотя поведение турбулентности на крупных масштабах зависит от устройства системы, тем не менее, для геометрически подобных систем можно построить универсальное описание в этой области [4]. Примером такого класса систем служит затухаюш,ая турбулентность за решеткой. В Главе 1 исследуется уравнение спектрального баланса энергии развитой затухающей однородной изотропной турбулентности. Обобш,ается на крупномасштабную область схема замыкания Гейзенберга, дающая колмогоровский спектр энергии в инерционном интервале. Находится приближенное решение полученного уравнения во всем диапазоне масштабов. Вычисляется значение константы Колмогорова. Демонстрируется неплохое согласие соответствующего решению продольного одномерного спектра энергии с экспериментальными данными для затухающей турбулентности за решеткой.В последнее время проявляется значительный интерес к исследованию аномального скейлинга пассивной скалярной примеси в инерционном интервале. И натурные, и численные эксперименты показывают, что отклонения от классической теории Колмогорова-Обухова гораздо сильнее проявляются для скалярной примеси, нежели, собственно, для поля скорости; например, см. [10, И] и имеющиеся там ссылки. В то же время, задача переноса скалярной примеси более проста для теоретического анализа.Наиболее заметный прогресс в этой области был достигнут для, так называемой, модели Крейчнана [13] перемешивания пассивной примеси "синтетическим" полем скорости с гауссовой статистикой (см. ссылки в Главе 2). Уже такая сравнительно простая модель обнаруживает некоторые аномальные черты, свойственные реальной турбулентной конвекции. Тем самым, проблема турбулентной диффузии, важная сама по себе, может рассматриваться как отправная точка при изучении аномального скейлинга в турбулентности в целом.Еще один важный вопрос, изучаемый в последнее время, влияние крупномасштабной анизотропии на статистические характеристики пассивно переносимых полей и, собственно, на поле скорости. Согласно классической теории Колмогорова-Обухова, анизотропия, привнесенная на крупных масштабах посредством силы (граничных условий, геометрии препятствий), исчезает при переносе энергии на меньшие масштабы, благодаря каскадному механизму [2, 3]. Недавние работы подтверждают эту картину для четных корреляционных функций. Тем не менее, анизотропия выживает в инерционном интервале и проявляется в нечетных корреляционных функциях, что не совпадает с ожиданиями, основанными на идеях каскада.Асимметрия S3/S2 уменьшается при уменьшении масштабов гораздо медленнее, чем ожидалось, а безразмерные отношения более высоких нечетных порядков S2n i/S2'^ (гиперасимметрия и т.д.) увеличиваются, демонстрируя устойчивую мелкомасштабную анизотропию. Это проявляется и для скалярного и для векторного полей, переносимых быстро меняюш,имся гауссовским полем скорости, а так же для скалярного поля, переносимого двумерным полем скорости, подчиняющимся уравнению Навье-Стокса, что говорит в пользу универсальности эффекта (см. ссылки в Главе 2).В Главе 2 изучается обобщение модели Крейчнана турбулентной конвекции на сильно анизотропное поле скорости. Методами ренормгруппы и операторного разложения доказывается наличие аномального скейлинга в инерционном интервале, и в первом порядке г-разложения вычисляются соответствующие аномальные показатели для структурных функций произвольного порядка в произвольной размерности пространства d.Аномальные показатели структурных функций в пределе малой анизотропии можно связать с тензорными составными операторами, построенными из градиентов скалярного поля. При этом, они обладают иерархией, связанной со степенью анизотропии: чем меньше ранг оператора, тем больший вклад в асимптотику инерционного интервала ему соответствует.Ведущие вклады для четных и нечетных структурных функций даются, соответственно, скалярными и векторными операторами.Одним из интересных качественных результатов анализа данной модели является следующий. Хотя при конечной анизотропии показатели нельзя связать с определенными операторами, вследствие "смешивания" операторов при ренормировке, упомянутая иерархия выживает во всех рассмотренных случаях. Эта иерархия может рассматриваться как подтверждение известной феноменологической гипотезы о локальной изотропизации турбулентности, полученное на основе микроскопической модели и в рамках контролируемого приближения.Кроме того, обнаружено, что, при достаточно сильной анизотропии поля скорости, асимметрия структурных функций скалярной примеси может возрастать в инерционном интервале. Нечетные отношения старших порядков возрастают уже при малой анизотропии.Детальное исследование структурной функции второго порядка методами ренормгруппы и анализа нулевых мод приводит к согласующимся результатам. Вычислены соответствующие показатели и амплитуды в рамках теорий возмущения по е, \jd и параметрам анизотропии.В связи с успехами, достигнутыми в модели Крейчнана, в настоящее время активный интерес вызывает исследование ее обобщений на случай примесного векторного поля. Наиболее обсуждаемые в литературе модели — модель Казанцева-Крейчнана переноса магнитного поля, линеаризованное уравнение Навье-Стокса, которое описывает перенос мелкомасштабных компонент скорости крупномасштабными с заданной статистикой, а так же, собственно, модель переноса пассивной векторной примеси.Последнюю модель можно рассматривать как линеаризованное уравнение Навье-Стокса, в котором пренебрегается градиентом крупномасштабных компонент скорости. С точки зрения анализа аномального скеилинга с помощью операторного разложения (0.2), именно эта модель наиболее близка к уравнению Навье-Стокса. Дело в том, что именно в этом случае задача становится инвариантной относительно сдвига примесного поля на постоянный вектор, что является аналогом галилеевой инвариантности уравнений гидродинамики.Как и в уравнении Навье-Стокса операторы, дающие главный вклад в операторное разложение, сильно смешиваются при ренормировке, что порождает значительные вычислительные трудности. Для получения аномальных показателей необходимо найти собственные числа матрицы критических размерностей, порядок которой равен количеству операторов в семействе. Так, семейство операторов для S\ включает 6 операторов при произвольном d [59J, и их количество быстро возрастает с ростом порядка структурной функции.В Главе 3 рассмотрена модель переноса пассивной векторной примеси двумерным турбулентным потоком. Установлено, что асимптотика структурных функций примеси в инерционном интервале определяется флуктуациями диссипации энергии. Показатели аномального скейлинга рассчитаны в однопетлевом приближении для структурных функций произвольного порядка, что стало возможным вследствие выбора базиса в котором матрица критических размерностей имеет треугольный вид.В Главе 4 разработана методика для построения базисов семейств операторов, определяющих главный вклад в операторное разложение структурных функций, основанная на выявлении дополнительных связей между операторами при уменьшении размерности пространства d. Появление дополнительных связей объясняется тем, что тензоры с одинаковым количеством значков в пространствах разной размерности имеют разное количество независимых компонент.На основе этой методики построены операторные базисы для d = 2 и. d = 3, что позволило в случае трех измерений в однопетлевом приближении рассчитать аномальные показатели структурных функций до восемнадцатого порядка включительно.
|
