Найти суммы рядов: а) , б) . Решение. а) , Представим общий член ряда в виде: . Вычисляем сумму ряда по формуле: . Сумма n первых членов ряда: . Сумма ряда:
б) . Представим заданный ряд в виде суммы трех рядов: . Ряд представляет собой геометрическую прогрессию сумма n членов которой: , для того чтобы найти сумму ряда необходимо чтобы ряд сходился, т.е. , тогда сумма ряда:
Ряд представляет собой арифметико-геометрическую прогрессию сумма n членов которой:
Рассмотрим ряд : Дифференцируем ряд , получаем:
Получаем:
7. Найти радиусы сходимости и области сходимости степенных рядов: а) , б) . Решение. а) , Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: . Т.к. и , то
Итак, радиус сходимости ряда . Определим интервал сходимости данного степенного ряда: . Т.о., – интервал сходимости степенного ряда. б) . Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле: . Т.к. и , то
Итак, радиус сходимости ряда . Определим интервал сходимости данного степенного ряда: . Т.о., – интервал сходимости степенного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. Пусть. Подставим в заданный степенной ряд и получим знакочередующийся ряд . Для членов полученного ряда выполняются условия: и . В соответствии с признаком Лейбница данный ряд сходится и принадлежит области сходимости степенного ряда. Пусть . Подставим в заданный степенной ряд и получим числовой ряд с положительными членами:
Применим предельный признак сравнения. Общий член исследуемого ряда Будем сравнивать с расходящимся гармоническим рядом . С общим членом . Находим значение предела:
Следовательно, ряд расходится и не принадлежит области сходимости степенного ряда. Итак, областью сходимости данного степенного ряда является промежуток . 8. Разложить функции: а) , б) . В ряд Тейлора по степеням , . Решение. а) , Ряд Тейлора для функции имеет вид: . В нашем случае:
.
. . Получаем: .
б) . Ряд Тейлора для функции имеет вид: . . В нашем случае:
