x 2 x2 y – y2 – y = 0, M (1; 1).Решение: Дифференцируя по x обе части данного уравнения и считая при этом функцией от x, получаем:2x 2xy-x2y’-2yy’-y’=0Отсюда Полагая x = 1, y = 1, находим Задание 5. Найти угол между касательными, проведенными в точках пересечения кривой F ( x; y) = 0 c oсью Оx .Сделать чертеж.x 2 y 2 – 6x – 2y 6 = 0.Решение. Поступая по аналогии с предыдущим примером, находим:2x 2yy’-6-2y’=0 Точки пересечения данной кривой с прямой y = 0 являются решениями следующей системы:Таких точек две: А(3 ;0) и В(3-;0). Находим согласно угловой коэффициент k1 касательной к данной кривой в точке А: k1 = у' (А ) = =.Аналогично находим угловой коэффициент k2 касательной в точке В:k 2 = у' (В ) = . Угол ? удовлетворяет равенству , значит tg ? = , откуда ? = arctg () 98013'.Прежде чем сделать чертеж, преобразуем данное уравнение в уравнение (х – 3) 2 (у - 1) 2 = 4, которое определяет окружность с центром О'(3;1) и радиусом R=2 Задание 6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.а ) ,б) .Решение. Убедившись, что имеет место случай или , применяем правило Лопиталя.А) Имеем неопределенность . Приведем эту неопределенность к неопределенности , а затем применим правило Лопиталя:
